Calcule ou mostre que não existe, sem aplicar L'Hôpital e/ou aproximações polinomiais.
Solução:
Para resolver esses limites, um teorema deve ser enunciado:
Teorema 1: Sejam as funções f,g: D → ℜ
Sejam
as constantes a
Є D’ e b1,b2 Є ℜ
tais que limx→a f(x) = b1 limx→a g(x) = b2
Então:
a) limx→a
(f + g)(x) = b1 + b2
b) limx→a
(f*g)(x) = b1*b2
c) Se b2 ≠ 0 limx→a (f/g)(x) = b1/b2
Onde D’ são os pontos de acumulação do
domínio de f e g.
a)
Fazendo uma substituição de variável u = sen(x)/cos(x) = tg(x) onde para x tendendo a zero, u também tende a zero, adotando o Teorema 1 e conhecendo o limite:
temos que:
Gráfico da função:
b) Para quem não percebeu (ou para quem não sabe ainda), esse limite é a derivada da função seno.
Percebam que no limite, x → a, ou seja, x é um pouco diferente de a, mas muito próximo de a. Assim, podemos dizer que x = a + h, sendo que no limite, h → 0.
Como a é uma constante, cos(a) e sen(a) também é constante e poderá sair de dentro do limite quando estiver multiplicando.
Conhecendo o limx→0 sen(x)/x mencionado no exercício anterior, temos:
Mas:
Onde limh→0 sen(h)/h = 1 e limh→0 sen(h)/[cos(h)+1] = 0/2 = 0. Logo, 1*0 = 0. Portanto:
Assim, voltando ao exercício:
Gráfico da função para a = 0 em azul, a = π/4 em vermelho e a = π/2 em preto:
c)Para resolver este exercício, devemos fatorar os polinômios que estão dentro da raiz:
1-x³ = (1-x)*(x² + x + 1)
x²-1 = (x-1)*(x+1)
Da divisão, o termo (x-1) pode ser simplificado, ficando:
Gráfico da função em azul e em vermelho uma reta horizontal passando pela raiz cúbica de -3/2.
0 comentários:
Postar um comentário