Propriedades de um Espaço Vetorial

Após definir o que é um espaço vetorial, algumas propriedades podem ser observadas de forma quase imediata. A seguir veremos algumas delas:

Propriedade I: $\forall \alpha \, \in \, \Re, \, \alpha o \, = \, o$
Propriedade II: $\forall u \, \in \, V, \, u0 \, = \, 0$

Propriedade III: Se $\alpha u \, = \, o$ para $\alpha \, \in \, \Re$ e $u \, \in \, V$, então ou $\alpha \, = \, 0!$ ou $u \, = \, o$
Propriedade IV: $\forall \alpha \, \in \, \Re$ e $\forall u \, \in \, V, \, (-\alpha) u \, = \, \alpha (-u) \, = \, -(\alpha u)$
Propriedade V: $\forall \alpha \, \beta \, \in \, \Re$ e $\forall u \, \in \, V, \, (\alpha \, - \, \beta)u = \alpha u \, - \, \beta u$

O que é um Espaço Vetorial

Exemplo:
Prove a Propriedade I:
Das definições de Espaço Vetorial II-c e I-c, temos que:
$\alpha o \, = \, \alpha (o \, + \, o) \, = \, \alpha o \, + \, \alpha o$
Seja a igualdade $\alpha o \, = \, \alpha o$
Somando $- \alpha o$ de ambos os lados da igualdade temos:
$o \, = \, - \alpha o \, + \, \alpha o \,$
Aplicando o que foi mostrado acima, onde $\alpha 0 \, = \, \alpha o \, + \, \alpha o$ temos
$o \, = \, - \alpha o \, + \, \alpha o \, + \, \alpha o \, = \, \alpha o$
Ou seja:
$o \, = \, \alpha o$

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.

       


O que é um espaço vetorial?

Definição de um espaço vetorial

Definição: Um conjunto $V\, \neq \, \emptyset$ é um espaço vetorial sobre $ \Re $ se, e somente se, satisfizer as seguintes condições:

I - Existir uma adição em $V$ com as seguintes propriedades:
a) $u\, +\, v\, = \, v\, + \, u, \, \forall u , \, v \, \in \, V$

b) $u \, + \, (v \, + \, w) \, = \, (u \, + \, v) \, + \, w, \forall u, \, v , \, w \in \, V$
c) Existe em $V$ um elemento neutro para essa adição, simbolizado por $o$, onde:
$$u \, + \, o \, = \, u, \forall \, u \, \in \, V$$
d) Para todo elemento $u$ de $V$, existe seu oposto onde:
$$u \, + \, (-u) \, = \, o$$

II - Existir uma multiplicação $\Re \times V$ em $V$, ou seja, para todo par ($\alpha, u$) onde $\alpha \, \in \, \Re$ e $u \, \in \, V$, existe um, e apenas um elemento $v$ de $V$ tal que $\alpha \times u \, = \, v$, e para essa multiplicação tem-se, $ \forall \, \alpha, \, \beta \, \in \, \Re$:
a) $\alpha ( \beta u) \, = \, (\alpha \beta)u$
b) $(\alpha \, + \, \beta)u \, = \, \alpha u \, + \, \beta u$
c) $\alpha ( u \, + \, v) \, = \, \alpha u \, + \, \alpha v$

Portanto, qualquer que seja a "soma" e a "multiplicação" definidas em um conjunto tais que satisfaçam as condições acima, teremos que o conjunto é um espaço vetorial segundo esta soma e esta multiplicação.

Fonte: CALLIOLI, Carlos A.; DOMINGUES, Hygino H.; COSTA, Roberto C. F., Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo, Atual, 6ª ed, 1990.




Exercício Resolvido - Integral

Calcule as seguintes integrais:
1) Cos²(x)*Tan³(x)
2) Sec⁴(x/2)
3) Senⁿ(x)
4) Sen⁴(x)


Solução:

1)



Substituindo na integral:


Como há uma subtração no integrando, podemos separar em duas integrais


Simplificando a segunda integral temos:


Como a derivada de Cos(x) = -Sen(x), vou chamar Cos(x) de 'u', ou seja, Cos(x) = u, logo, derivando de ambos os lados -Sen(x)dx = du.
Fazendo a substituição nas integrais:

Onde k1 e k2 são constantes arbitrárias que podemos substituir por k1 + k2 = k. Porém, como u = Cos(x).


2) Neste, a integral será com limites:


Para utilizar a integração por partes:


Nomeando convenientemente cada um dos fatores do integrando:


Integrando por partes:



Substituindo Tan(x/2) = u, onde du = (1/2)Sec²(x/2)dx


Como u = Tan(x/2)


Como Tan(0) = 0




Veja também:
O que é Integral?
Exercício Resolvido - Integrais
Exercício Resolvido - Integral de √(4 /x⁴-x²)
Exercício resolvido - Integral - Cálculo da área abaixo das curvas
Dedução da Área da elipse usando apenas conhecimentos de cálculo I


3) Integrando Senⁿ(x) por partes


Mas, das relações trigonométricas temos que Cos²(x) + Sen²(x) = 1, ou seja, Cos²(x) = 1 - Sen²(x)


Assim:



4) Usando o resultado do exercício 3) para n = 4, temos:


Para calcular a integral de Sen²(x) é possível utilizar o resultado obtido no exercício 3) também, para n = 2.


Onde C é uma constante qualquer.
Das relações trigonométricas temos que Sen(2x) = 2Sen(x)Cos(x)


Assim, substituindo:


Porém, como C é uma constante arbitrária, 3C/4 também será. Assim, para facilitar pode-se usar K = 3C/4




Exercício Resolvido - Geometria Espacial: Plano e esfera

Determine a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo da figura abaixo sabendo que a esfera tangencia três faces do cubo e o plano secante formado pelo hexágono. Os pontos do hexágono são pontos médios das 6 arestas do cubo.

Solução:

Para definirmos a esfera é preciso conhecer as coordenadas do seu centro e o seu raio.
O exercício nos fala que a esfera tangencia 4 planos:
- Plano superior definido por z = a (onde a é a aresta do cubo e z o eixo vertical);
- Plano lateral esquerdo definido por y = 0;
- Plano frontal definido por x = a e;
- Plano formado pelo hexágono.

Dos planos tangentes sabe-se que o vetor formado pelo ponto central da esfera e o ponto de tangência é perpendicular ao plano tangente. Por exemplo, no caso do plano z = a (superior) se o ponto de tangência é definido por (x1, y1, a) e o ponto do centro da esfera definido por (xc, yc, zc) temos que o vetor V = (xc - x1, yc - y1, zc - a) é perpendicular ao plano z = a. Como o vetor (1, 1, 0) é paralelo ao plano z = a, então:

<(xc - x1, yc - y1, zc - a),(1,1,0)> = 0

O que nos leva que:
xc = x1
yc = y1

Este resultado é bastante intuitivo pois se a esfera é tangente ao plano z = a, então o centro dela terá coordenadas xc e yc iguais às coordenadas x1 e y1 já que este plano é paralelo ao plano formado pelo eixos xy. O mesmo raciocínio pode ser usado para os planos y = 0 e x = a. No caso de y = 0, seja (x2, 0, z2) o ponto de tangência da esfera. Assim, xc = x2 e zc = z2. Da tangência com o plano x = a, temos o ponto (a, y3, z3), neste caso, yc = y3 e zc = z3. Na figura abaixo fica mais fácil de perceber isso.


Na figura acima, em preto tracejado estão as reta que ligam o centro da esfera com os pontos de tangência nas faces do cubo e em verde, os pontos de tangência. Perceba que no caso do ponto de tangência com o plano superior do cubo, a linha que liga o centro da esfera com ele é totalmente vertical, logo as coordenadas x e y de ambos os pontos devem ser iguais. O mesmo raciocínio pode ser feito aos outros dois pontos. Assim, já podemos concluir que:
x1 = x2 = xc
y1 = y3 = yc
z2 = z3 = zc

Agora, verificando a tangência com o hexágono.
Como em qualquer caso de tangência de um plano com uma esfera, a linha que une o ponto de tangência com o centro da esfera é perpendicular ao plano.
Do plano do hexágono nós conhecemos 6 pontos (os vértices do hexágono). Com apenas três deles é possível definir um plano. Usarei os pontos (a/2, a, a), (0, a/2, a) e (a, a, a/2) para definir o plano.


Neste caso podemos definir dois vetores:
V1 = (a/2, a, a) - (a, a, a/2) = (-a/2, 0, a/2) = (-1,0,1)
V2 = (a/2, a, a) - (0, a/2, a) = (a/2, a/2, 0) = (1,1,0)

Com o produto vetorial destes vetores podemos obter o vetor perpendicular ao plano formado pelo hexágono. Este vetor é importante pois define o plano.


Assim, o plano é definido por:

<(-1,1,-1), (x-a, y-a, z-a/2)> = 0
-(x-a) + (y-a) - (z-a/2) = 0
-x + a + y - a - z + a/2 = 0
x - y + z = a/2
z = a/2 + y - x
Logo, podemos definir genericamente o ponto de tangência da esfera com o plano do hexágono:
P4 = (x, y, a/2 + y - x) 
já que este ponto pertence ao plano.

Assim, já conhecemos, genericamente, os 4 pontos de tangência, são eles:
P1 = (xc, yc, a)
P2 = (xc, 0, zc)
P3 = (a, yc, zc)
P4 = (x4, y4, a/2 + y4 - x4)

Porém, todos estes pontos pertencem à esfera, logo devem satisfazer a equação da esfera, dada por:
(x - xc)² + (y - yc)² + (z - zc)² = r²
Onde r é o raio da esfera.

Assim, para cada ponto temos:
P1:
(xc - xc)² + (yc - yc)² + (a - zc)² = r²
(a - zc)² = r²
zc = a - r
P2:
(xc - xc)² + (0 - yc)² + (zc - zc)² = r²
yc² = r²
yc = r
P3:
(a - xc)² + (yc - yc)² + (zc - zc)² = r²
xc = a - r
P4:
(x4 - xc)² + (y4 - yc)² + (a/2 + y4 - x4 - zc)² = r²

A equação para o ponto P4 ainda não vou desenvolvê-la pois vai ficar muito grande. É mais conveniente manter ela "guardada" a depois de obter outros resultados que possam simplificá-la, voltamos a ela.

Do plano formado pelo hexágono podemos definir dois vetores que serão úteis:
- Vetor com origem no centro da esfera e final no ponto de tangência com o hexágono:
V4 = (x4, y4, a/2 + y4 - x4) - (xc, yc, zc) = (x4 - xc, y4 - yc, a/2 + y4 - x4 - zc)
Este vetor é perpendicular ao plano, e portanto paralelo ao vetor V3 = (-1, 1, -1)

- Um vetor paralelo ao plano, com origem e término em quaisquer dois pontos do plano. Usarei os ponto:
(a, a/2, 0) e (0, a/2, a) para definir este vetor:
V5 = (a, a/2, 0) - (0, a/2, a) = (a, 0, -a) = (1, 0, -1)
Este vetor é paralelo ao plano e portanto perpendicular ao vetor V4.

Se V4 é perpendicular a V5, então o produto escalar entre eles será zero:
<(x4 - xc, y4 - yc, a/2 + y4 - x4 - zc), (1, 0, -1)> = 0
x4 - xc - a/2 - y4 + x4 + zc = 0
y4 = - xc - a/2 + 2x4 + zc
Como zc = xc
y4 =2x4 - a/2

Se V4 é paralelo a V3, então o produto vetorial entre eles é um vetor nulo:
Com os resultados que já obtemos até aqui, podemos simplificar o vetor V4:
V4 = (x4 - xc, y4 - yc, a/2 + y4 - x4 - zc) = (x4 - xc, 2x4 - a/2 - yc, a/2 + 2x4 - a/2 - x4 - zc)
V4 = (x4 - a + r, 2x4 - a/2 - r, x4 - a + r)
Assim, o produto vetorial fica:


Como o produto é um vetor nulo, temos que:
x4 = a/2
Assim:
y4 = 2x4 - a/2 = a/2

Voltando à equação (x4 - xc)² + (y4 - yc)² + (a/2 + y4 - x4 - zc)² = r², temos que:
(a/2 - a + r)² + (a/2 - r)² + (a/2 + a/2 - a/2 - a + r)² = r²
(-a/2 + r)² + (a/2 - r)² + (- a/2 + r)² = r²
Como (a/2 - r)² = (-a/2 + r)², pois ambos estão ao quadrado, temos:


Porém, a solução r1 é maior que a, o que é incompatível, já que o raio da esfera não pode ser maior que o lado do cubo. Portanto, o raio da esfera é igual a r2.
Assim, a razão entre os volumes vale:


A seguir é possível verificar a esfera, os planos tangentes e os pontos de tangência.




Princípio da indução finita

Definição e exemplos do princípio da indução finita

Este princípio é utilizado para a solução de diversos exercícios, porém ele serve apenas para aqueles que envolvem números inteiros e para exercícios que pedem que seja provado que algo é verdadeiro para um conjunto de valores inteiros.
Vou falar sobre o princípio utilizando a fórmula da soma da PA (Progressão Aritmética) para esclarecer.
 

Para isso, será necessário o uso da fórmula do termo geral da PA:


Voltamos ao método, que basicamente consiste em 3 etapas:

1ª Etapa - Dado um conjunto de valores inteiros que se deseja verificar a validade de algo proposto, deve-se verificar se é válido para o menor valor do conjunto.
No exemplo então, vamos verificar se a fórmula da soma da PA é válida para n = 1. Neste caso, é muito fácil perceber já que a soma será igual a a1, já que este é o único termo.
Vamos verificar se usando a fórmula o resultado é obtido:


O resultado obtido é correto, logo a fórmula da Soma da PA vale para o menor elemento do conjunto.

2ª Etapa - Assume-se que para um elemento 'k' qualquer e genérico do conjunto a fórmula é verdadeira.
Do exemplo vamos calcular a soma dos primeiros 'k' elementos do conjunto, neste caso, pela fórmula da soma da PA teremos que:


3ª Etapa - Assumindo que o resultado obtido na Etapa 2 seja verdadeiro, calculamos o resultado para 'k+1' e verificamos se obtemos a fórmula desejada.
Do exemplo usado temos então que a soma dos 'k+1' primeiros elementos é a soma dos 'k' primeiros elementos mais o elemento 'k+1'. Veja:


Observe que se usarmos a fórmula da soma da PA para calcular a soma dos 'k+1' primeiros termos (substituindo n = k+1) teremos exatamente o resultado acima. Portanto, provamos que a fórmula é válida sempre. Porém, por que podemos concluir isso? Por que o uso do princípio garante a validade da fórmula para qualquer quantidade de elementos?

Bom, tudo se resume às etapas que foram seguidas. 
Foi mostrado que para o primeiro elemento a fórmula é válida. 
Após isso, supomos na Etapa 2 que para um número de elementos 'k' qualquer ela é válida e a partir do resultado da Etapa 2 obtemos o resultado para 'k+1' e verificamos que ele é válido. A grande dúvida que surge é por que podemos garantir que o resultado obtido na Etapa 2 é válido?

Na verdade a gente não garante isso, apenas supõe. Porém se a partir do resultado da Etapa 2 pudermos obter um resultado satisfatório na Etapa 3 então o resultado é válido. O que garante isso é o seguinte raciocínio:

- Para o menor elemento a equação é válida;
- Então, se 'k' = 1 a nossa suposição da Etapa 2 é verdadeira, e não apenas uma suposição, já que mostramos na Etapa 1 isso;
- Mas na Etapa 3 nós mostramos que se 'k' é verdadeiro, então 'k+1' também é;
- Como para 'k' = 1 vimos que é verdadeiro na Etapa 1, então certamente para 'k+1' = 2 também será, como visto na Etapa 3;
- Mas se para 'k' = 2 é verdadeiro, então para 'k+1' = 3 também será;
- Mas se para 'k' = 3 é verdadeiro, então para 'k+1' = 4 também será;
- ...

Assim, o princípio garante que para qualquer 'k' ele é verdadeiro, desde que as etapas sejam satisfeitas.

Exercícios que o princípio foi usado: