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Cálculo I: Números Reais

Neste post falaremos dos Números Reais e suas propriedades na introdução ao Cálculo.

O conjunto dos números reais (ℝ) é formado pela união dos conjuntos Naturais (ℕ), Inteiros (ℤ), Racionais (ℚ) e Irracionais (𝕀).

Conjunto dos Números Reais

No conjunto dos números Naturais (ℕ) existe uma propriedade importante, denominada Princípio da Indução Finita (para mais detalhes, clique aqui). Essa propriedade é muito utilizada no estudo de sequências.

Com as propriedades existentes no conjunto dos ℝ, assim como no conjunto dos ℕ, ℤ e ℚ, é possível que se defina as operações de ADIÇÃO e MULTIPLICAÇÃO. Neste ponto definimos o que é um Corpo.

Definição 1: Um corpo é um conjunto M diferente de vazio que possui duas operações: ADIÇÃO ⊕ e MULTIPLICAÇÃO ⊗ de modo que satisfaça as seguintes propriedades:

a) Associativa: Dados a,b,c ∈ M são verdadeiras as seguintes relações:

(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)

(a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)


b) Comutativa: Dados a,b ∈ M, são verdadeiras as seguintes relações:

a ⊕ b = b ⊕ a

a ⊗ b = b ⊗ a

c) Elemento neutro da adição: Deve existir 0 ∈ M tal que ⊕ 0 = a, para todo a ∈ M.

d) Elemento neutro da multiplicação: Deve existir 1 ∈ M, tal que ⊗ 1 = a, para todo a ∈ M.

e) Elemento simétrico ou oposto da adição: Deve existir -a ∈ M para cada elemento a ∈ M tal que:

a ⊕ (-a) = 0 (elemento neutro da adição).

f) Elemento inverso da multiplicação: Deve existir a⁻¹ ∈ M* para cada a ∈ M de forma que:

 (a⁻¹) = 1 (elemento neutro da multiplicação)

g) Propriedade distributiva da multiplicação de uma adição: Para quaisquer elementos a, b, c ∈ M, deve ser válida a seguinte igualdade:

a ⊗ (b ⊕ c) = a ⊗ b ⊕ a ⊗c

De posse dessa definição temos que, dos conjuntos acima mencionados, apenas os conjuntos ℝ e ℚ satisfazem a definição acima para as operações de adição e multiplicação usuais e, portanto, podem ser chamados de Corpo.


Exercícios resolvidos:

Exercício 1: Mostre que o conjunto dos números Racionais (ℚ) forma um corpo segundo as operações de adição e multiplicação usuais:
O conjunto ℚ é formado por números que podem ser escritos por:

Onde tanto a quanto b são números Inteiros (ℤ), onde b ≠ 0.
Sejam os três números Racionais a seguir:
Vamos verificar as propriedades:

Propriedade a) Associativa:
Esta propriedade é válida para a soma e a multiplicação usuais já que, para quaisquer a,b,c,d,e,f ∈ ℤ são verdadeiras as igualdades:

Propriedade b) Comutativa:
Esta propriedade é válida para a soma e a multiplicação usuais já que, para quaisquer a,b,c,d ∈ ℤ são verdadeiras as igualdades:
Propriedade c) Elemento neutro da adição:
É válida pois o 0 pertence ao conjunto dos números Racionais.


Propriedade d) Elemento neutro da multiplicação:
É válida pois o 1 pertence ao conjunto dos números Racionais.

Propriedade e) Elemento simétrico ou oposto da adição:
É válida pois para qualquer elemento que pertença aos Racionais, o seu simétrico também pertence.

Propriedade f) Elemento inverso da multiplicação:
É válida pois para qualquer elemento que pertença aos Racionais, o seu inverso também pertence.

Propriedade g) Propriedade distributiva da multiplicação de uma adição:
É válida pois para qualquer elemento que pertença aos Racionais, a igualdade abaixo é verdadeira:

Por satisfazer todas as propriedades, temos que os números Racionais formam um corpo.

Exercício 2: Por que o conjunto dos números Naturais (ℕ) não é um corpo?
Por não possuir números negativos contata-se que a propriedade e) não pode ser cumprida. Além dela, a Propriedade f) também não.

Exercício 3: Por que o conjunto dos números Irracionais (𝕀) não é um corpo?

Por não possuir os números 0 e 1, não satisfaz as Propriedades c) e d).
Surge, destas propriedades, a seguinte Proposição:

Proposição 1: Para todo conjunto que seja um corpo, é verdadeiro:
1 - O elemento neutro é único;
2 - A unidade é única;
3 - Para cada elemento x do conjunto, existe um único elemento simétrico;
4 - Para cada elemento x do conjunto, existe um único elemento inverso multiplicativo;
5 - Se a,b,c pertencem ao conjunto de tal forma que a+b = a+c então, b = c;
6 - Dados a,b que pertençam ao conjunto, é verdadeiro:
-(-a) = a
-(a+b) = (-a) + (-b)
(-a)*b = a*(-b)
(-a)*(-b) = a*b

7 - Dados a,b que pertençam ao conjunto, é verdadeiro dizer que:
a*b = 0 se, e somente se, a = 0 ou b = 0
8 - Dados a,b que pertençam ao conjunto e sejam diferentes de zero, é verdadeiro dizer que:
(a⁻¹)⁻¹ = a
(a*b)⁻¹ = a⁻¹ * b⁻¹


Definição 2: Um corpo ordenado é um corpo K que possua um subconjunto P não vazio denominada conjunto dos números positivos de K, tal que:
a) Para todo a,b ∈ P tem-se que a+b e a*b ∈ P.
b) Para cada a ∈ K uma e somente uma das afirmativas abaixo é verdadeira:
ou a = 0, ou a ∈ P ou -a ∈ P

Definição 3: Seja C um corpo ordenado e seja S um subconjunto não vazio de C, define-se que:
a) S é limitado superiormente em C caso exista algum termo a ∈ C que seja maior ou igual a todos os termos de S. Dizemos nesse caso que a é uma cota superior de S em C. Se a for a menor cota superior de S em C, chamamos a de supremo de S em C.
b) S é limitado inferiormente em C caso exista algum termo b ∈ C que seja menor ou igual a todos os termos de S. Dizemos nesse caso que b é uma cota inferior de S em C. Se b for a menor cota inferior de S em C, chamamos b de ínfimo de S em C.
c) S é limitado em C quando possui cota inferior e superior em C.

Exercício resolvido:
Exercício 4: Mostre que o conjunto A = [3, 10) é limitado em .
De fato, basta tomarmos 2  ℝ e 15  ℝ, onde 2 é uma cota inferior e 15 é uma cota superior. No caso temos 3 como ínfimo de A em  e 10 como supremo de A em ℝ.

Em outras palavras, o supremo de um conjunto é um valor tal que seja maior ou igual a todos os valores do conjunto porém não existe valor "intermediário" entre ele e o maior valor do conjunto. Esta afirmação só é verdadeira quando o supremo é o próprio maior valor do conjunto.
O raciocínio análogo ocorre para o ínfimo, devendo ser ele o menor valor do conjunto.

Definição 4: Um corpo ordenado completo é um conjunto tal que todo subconjunto dele, limitado inferiormente, admite ínfimo nele.


Exercício resolvido:
Exercício 5: Mostre que ℚ não é um corpo ordenado completo.
Dado o conjunto A = {x ∈ ℚ / x² > 2} temos que o ínfimo do conjunto √2 ∉ Q. Desta forma, este subconjunto de não possui ínfimo em , mas apenas em . (Veja também: Mostre que √2 não é Racional).

O conjunto dos ℝ é um corpo ordenado completo.

PS: O conjunto dos números Naturais pode ser definido com o 0 (zero) ou sem ele. Esta definição fica a critério do professor.




Exercício Resolvido - Probabilidade de ninguém pegar seu próprio nome em um amigo secreto

Numa brincadeira de amigo secreto, qual a probabilidade de ninguém tirar o próprio nome quando o número de participantes tende ao infinito? 

Solução:
Este exercício parece ser simples mas é muito complicado.
Vou tentar explicar a forma como fiz o mais detalhado possível, porém o leitor deve estar bem atento a cada passo.

Inicialmente, vamos deduzir o universo de possibilidades.

Não é difícil perceber que o universo é de n! para n participantes, pois, o primeiro a sortear tem 'n' nomes para retirar. O segundo terá '(n-1)'. O terceiro, '(n-2)'... Logo, o número de possibilidades é:

n*(n-1)*(n-2)*...*1 = n!

Dessas possibilidades, vamos procurar quais são favoráveis, e da divisão das possibilidades favoráveis pelo número total temos a probabilidade.

Vou chamar de Prob(n) = [P(n) / n!] a probabilidade solicitada. Ou seja, P(n) é o número de possibilidades favoráveis

Vamos lá. Um estudo específico rápido:
Se fosse 1 participante, a probabilidade seria 0%.

Se fossem 2, teríamos que o 1º não poderia pegar seu nome. Como o universo de possibilidades é 2 e apenas uma delas satisfaz, e probabilidade aqui seria 1/2 = 0,5

Se fossem 3, temos que pensar da seguinte forma para saber o universo de possibilidades:
Se o primeiro tirar seu nome, já não nos serve mais. Como este caso tem 2 possibilidades (a de o segundo e o terceiro também tirarem seus nomes, e a de o 2° tirar o nome do 3° e o 3° tirar o do 2°), resta verificar os outros casos;
Se o 1° tirar o nome do 2°:
Pode o 2° tirar o do 1° e o 3° o dele mesmo -> não serve;
Pode o 2° tirar o do 3° e o 3° o do 1° -> OK
Se o 1° tirar o do 3°, ocorre o mesmo, ou seja, das 2 possibilidades, onde uma é válida.
Assim, neste caso (3 participantes), o universo de possibilidades é 3*2*1 = 6, e as válidas são 2. Temos 2/6 = 1/3 a probabilidade.

Perceba que existem dois casos. Um é o primeiro pegar o seu próprio nome. E este não nos serve. O outro é ele pegar o nome de outro participante. Assim, restará o nome dele e de mais um. Supondo que o participante que o primeiro pegou o nome, pegar o nome do primeiro (ou seja, um pega o nome do outro), resta a situação de apenas um participante, ou seja, o participante que não sorteou só poderá pegar o próprio nome, que é o caso de se só existisse um participante.

Vamos analisar como seria com 4 participantes, o pensamento é análogo ao se fossem 3:
Se o 1° tirar seu nome, os outros casos não nos serve. Ou seja, temos 3! = 6 possibilidades que não servem.
Se o 1° tirar o nome do 2°:
O 2° tira o do 1° o 3° tira o próprio e o 4° o próprio -> Não serve
O 2º tira o do 1°, o 3° o do 4° o 4° o do 3º -> OK
O 2° tira o do 3°, o 3° o do 1º o 4º o próprio -> não serve
O 2° tira o do 3°, o 3° o do 4º, o 4º o do 1º -> OK
O 2° tira o do 4°, o 3º o próprio, o 4° o do 1º -> Não serve
O 2° tira o do 4º, o 3º o do 1º, o 4º o do 3° -> Ok
Total de 3 possibilidades neste caso.
Como o 1º pode ainda tirar o do 3° e do 4°, e nesses casos teremos a mesma situação acima (3 favoráveis em cada), são 9 as possibilidades satisfatórias. 9/24 = 3/8.

Mais uma vez, o que foi observado no caso de 3 participantes, ocorreu. Veja que aqui existe também a possibilidade do 1º tirar o seu próprio nome (que não serve) e de ele tirar o nome que outro participante. Como são 4 participantes, as possibilidades do 1º tirar o nome de outro são 3. Digamos que ele pegue o nome de outro participante, chamado de B. Neste caso, se o participante B tirar o nome do 1º, vão restar 2 nomes e dois participantes. Porém, como no caso de existirem apenas 2 no jogo do amigo secreto, os dois participantes que restaram tem os seus nomes a serem sorteados. Caso o B não pegue o nome do 1º, e pegue o nome de um jogador C. Segue a lógica: se o C pegar o nome do 1º, resta um jogador e um nome (caso do jogo de apenas um participante, já que o nome que sobrou é exatamente o nome do jogador que não sorteou), se ele pegar o nome de um participante D ...


Agora, vou fazer o mesmo que fiz acima, porém de forma genérica, para n participantes.

Já foi visto que o universo de possibilidades é de n!.

Neste caso, para n participantes, temos:
Se o 1° pegar seu nome. já não serve mais -> (n-1)! casos descartados
Se o 1º pegar o nome de outro participante (participante X) [ (n-1) possibilidades ]
Se X pegar o nome do 1º (1 possibilidade) restam (n-2) participantes com seus próprios (n-2) nomes. Neste caso, a probabilidade dos casos favoráveis será P(n-2), já que os nomes não sorteados são exatamente o dos participantes que restaram.

Mas se X pegar o nome de um terceiro (Y) (n-2 possibilidades) obtém-se os mesmos 2 casos:
Y pegar o nome do 1º (1 possibilidade), restando (n-3) participantes e seus (n-3) nomes. P(n-3)
Y pegar outro (Z) (n-3 possibilidades):
Z pegar o nome do 1º (1 possibilidade): P(n-4)
.......
E assim vai.
Assim, teremos que:

P(n) = (n-1)*[P(n-2) + (n-2)*[P(n-3) + (n-3)*[P(n-4) + (n-4)*[P(n-5) + ... + 3*[P(2) + 2*[P(1)]]]...]]]
Da igualdade acima, temos:
P(n-1) = (n-2)*[P(n-3) + (n-3)*[P(n-4) + ... + 2*[P(1)]]]...]]]

Assim:
P(n) = (n-1)*[P(n-2) + P(n-1)]
Lembrando que a probabilidade é Prob(n) = P(n) / n!

A relação P(n) = (n-1)*[ P(n-1) + P(n-2) ] estabelece uma relação de subfatorial.
Assim, dividindo tudo por n! (universo) temos:
(Aconselho ao leitor a acompanhar com um papel e um lápis a partir daqui)

P(n)/n! = (n-1)*{ P(n-1) + P(n-2)] } / n!

P(n)/n! = [(n-1)/n]*{ P(n-1)/(n-1)! + P(n-2)/(n-1)!] }

P(n)/n! = [(n-1)/n]*{ P(n-1)/(n-1)! + [1/(n-1)]*[P(n-2) /(n-2)!] }

Desta forma temos:
Prob(n) = [(n-1)/n]*{ Prob(n-1) + [1/(n-1)]*Prob(n-2) }

Prob(n) = (1 - 1/n )*{ Prob(n-1) + [1/(n-1)]*Prob(n-2) }

Prob(n) = Prob(n-1) - (1/n)*Prob(n-1) + [1/(n-1)]*Prob(n-2) - (1/n)*[1/(n-1)]*Prob(n-2) ]

Prob(n) = Prob(n-1) - (1/n)*Prob(n-1) + [(n-1)/n]*[1/(n-1)]*Prob(n-2) ]

Prob(n) = Prob(n-1) - (1/n)*Prob(n-1) + (1/n)*Prob(n-2) ] 

Prob(n) - Prob(n-1) = - (1/n)*Prob(n-1) + [1/n]*[ Prob(n-2) ]

Prob(n) - Prob(n-1) = (-1/n)* [ Prob(n-1) - Prob(n-2) ]

Seja G(n) = Prob(n) - Prob(n-1)

G(n) = (-1/n) G(n-1)

Como:
G(2) = Prob(2) - Prob(1) = 1/2 - 0 = 1/2

G(3) = (-1/3)*(1/2) = -1/6

G(4) = (-1/4)*(1/6) = 1/24
...
G(k) = [(-1)^k] / k!

Assim:

Prob(n) = Prob(1) + [Prob(2) - Prob(1)] + [Prob(3) - Prob(2)] + ... + [Prob(n) - Prob(n-1)]

Prob(n) = 0 + G(2) + G(3) + G(4) + ... + G(n)

Prob(n) = Ʃ{ [(-1)^k] / k! }

Mas, da série de Taylor temos que:
e^x = Ʃ[ ( x^k ) / k! ], se tivermos x = -1, a série será:

e^(-1) = Ʃ{ [ (-1)^k ] / k! } = Prob(n) para n tendendo ao infinito

Logo, Prob(n) = 1/e


Exercícios Resolvido - Petrobrás - Profissional Júnior Formação Administração - Questão 26

Considere a sequência numérica an, ∈ ℕ definida por:

O termo an pode ser obtido através de:
(A) n∙log(2)
(B) (n+2)∙log(2)
(C) [n∙(n+1)/2]∙log(2)
(D) log(2ⁿ-1)
(E) log(2⁺¹-2)


Solução:
Utilizando a seguinte propriedade de logaritmo:
log(xⁿ) = n∙log(x), podemos dizer que:

an+1 = an + log(2⁺¹)
an+1 = an + (n+1)log(2)

Assim:
an = an-1 + n∙log(2)
Substituindo:

an+1 =  an-1 + n∙log(2)  + (n+1)log(2)

Se continuássemos com estas substituições:
an-1 = an-2 + (n-1)∙log(2)

an+1 =  an-2 + (n-1)∙log(2)  + n∙log(2)  + (n+1)log(2)
...

an+1 =  a1 + 2∙log(2) + 3∙log(2) + 4∙log(2) + ... + (n-1)∙log(2)  + n∙log(2)  + (n+1)log(2)
an+1 =  a1 + log(2)∙[2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n  + (n+1)]
Como a1 = log(2)
an+1 =  log(2) + log(2)∙[2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n  + (n+1)]
an+1 =  log(2)∙[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n  + (n+1)]
Ainda, o termo an, que é o que interssa nesse exercício, é obtido por:
an =  log(2)∙[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1) + n ]
Perceba que dentro do [] existe a soma de uma PA (aula sobre Progressão Aritmética), que é dada pela fórmula:
S = (a1 + an)*(n/2) = (1 + n)*(n/2)
Assim,
an =  log(2)∙(1 + n)*(n/2)



Exercício Resolvido - Soma de sequências

Se An e Bn são duas sequências finitas de 5 termos cada uma, tais que cada termo é representado por an= 2n+1 e bn= -2n, n Є N*, qual a soma An + Bn?

Solução:

Vou fazer esta questão de duas formas. Como as sequências têm apenas 5 termos, podemos calcular cada um deles e fazer a soma:

Método I:
Sequência An:
a1 = 2*1 + 1 = 3
a2 = 2*2 + 1 = 5
a3 = 2*3 + 1 = 7
a4 = 2*4 + 1 = 9
a5 = 2*5 + 1 = 11

Sequência Bn:
b1 = -2*1 = -2
b2 = -2*2 = -4
b3 = -2*3 = -6
b4 = -2*4 = -8
b5 = -2*5 = -10

Assim, a soma será:
3+5+7+9+11-2-4-6-8-10 = 5

Método II:
an = 2n + 1 e bn = -2n. É fácil perceber que a soma dos enésimos elementos de cada uma das sequências é:

(2n+1) + (-2n) = 1

Assim, 
a1 + b1 = 1
a2 + b2 = 1
...
a5 + b5 = 1

Logo, o valor da soma final será 5*1

A5 + B5 = 5